Propiedad asociativa

En matemáticas, la propiedad asociativa es una propiedad de algunas operaciones binarias. En la lógica de proposiciones, el associativity es una regla válida del reemplazo para expresiones en pruebas lógicas.

Dentro de una expresión que contiene dos o más acontecimientos en fila del mismo operador asociativo, el pedido en el cual las operaciones se realizan no importa mientras la secuencia del operands no se cambia. Es decir el nuevo arreglo de los paréntesis en tal expresión no cambiará su valor. Considere, por ejemplo, las ecuaciones siguientes:

:

:

Considere la primera ecuación. Aunque los paréntesis se reajustaran (la izquierda requiere la adición 5 y 2 primeros, luego añadiendo 1 al resultado, mientras que la derecha requiere la adición 2 y 1 primer, entonces 5), el valor de la expresión no se cambió. Ya que esto se mantiene realizando la adición en cualquier número real, decimos que "la adición de números reales es una operación asociativa."

Associativity no se debe confundir con commutativity. Commutativity justifica el cambio del pedido o la secuencia del operands dentro de una expresión mientras associativity no hace. Por ejemplo,

:

es un ejemplo de associativity porque los paréntesis se cambiaron (y por consiguiente el pedido de operaciones durante la evaluación) mientras el operands 5, 2, y 1 apareció en exactamente el mismo pedido de la izquierda a la derecha en la expresión. En contraste,

:

es un ejemplo de commutativity, no associativity, porque la secuencia operand cambió cuando los 2 y 5 sitios cambiados.

Las operaciones asociativas son abundantes en matemáticas; de hecho, muchas estructuras algebraicas (como semigrupos y categorías) explícitamente requieren que sus operaciones binarias sean asociativas.

Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes son no asociativas; un ejemplo común sería el producto de la cruz del vector.

Definición

Formalmente, se llama una operación binaria en un juego S asociativa si satisface la ley asociativa:

:

: La utilización * para denotar una operación binaria funcionó en un juego

:

Ejemplo de:An de multiplicative associativity

El pedido de evaluación no afecta el valor de tales expresiones, y se puede mostrar que lo mismo sostiene para expresiones que contienen cualquier número de operaciones. Así, cuando es asociativo, el pedido de evaluación se puede dejar no especificado sin causar la ambigüedad, omitiendo los paréntesis y escribiendo simplemente:

:

Sin embargo, es importante recordar que el cambio del pedido de operaciones no implica o permite trasladar el operands dentro de la expresión; la secuencia de operands siempre es sin alterar.

La ley asociativa también se puede expresar en la nota funcional así:.

Associativity se puede generalizar a operaciones n-ary. Associativity ternario es (abecé) de = (bcd) e = ab (cde), es decir la cuerda abcde con cualquier tres elemento contiguo puesto entre paréntesis. N-ary associativity es una cuerda de longitud n + (n-1) con cualquier elemento contiguo n puesto entre paréntesis.

Ejemplos

Algunos ejemplos de operaciones asociativas incluyen el siguiente.

  • El encadenamiento de las tres cuerdas, se puede calcular concadenando las dos primeras cuerdas (dar) y añadiendo la tercera cuerda , o afiliándose a la segunda y tercera cuerda (dar) y concadenando la primera cuerda con el resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado; el encadenamiento de la cuerda es asociativo (pero no conmutativo).
  • En la aritmética, la adición y la multiplicación de números reales son asociativas; es decir,

::

\left.

\begin {}de la matriz \

(x+y) +z=x + (y+z) =x+y+z\quad

\\

(x \, y) z=x (y \, z) =x \, y \, z\qquad\qquad\qquad\quad\\\,

\end {}de la matriz \

\right\}\

\mbox {para todos} x, y, z\in\mathbb {R}.

</matemáticas>

El:Because de associativity, los paréntesis que se agrupan se pueden omitir sin la ambigüedad.

::

\left.

\begin {}de la matriz \

\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x, y), z) =

\operatorname {gcd} (x, \operatorname {gcd} (y, z)) =

\operatorname {gcd} (x, y, z) \\quad

\\

\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x, y), z) =

\operatorname {lcm} (x, \operatorname {lcm} (y, z)) =

\operatorname {lcm} (x, y, z) \quad

\end {}de la matriz \

\right\}\\mbox {para todos} x, y, z\in\mathbb {Z}.

</matemáticas>

::

\left.

\begin {}de la matriz \

(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C) =A\cap B\cap C\quad

\\

(A\cup B) \cup C=A\cup (B\cup C) =A\cup B\cup C\quad

\end {}de la matriz \

\right\}\\mbox {para todos los juegos} A, B, C.

</matemáticas>

  • Si el M es algún juego y S denota el juego de todas las funciones del M al M, entonces la operación de la composición funcional en S es asociativa:

::

  • Ligeramente más generalmente, considerando cuatro juegos M, N, P y Q, con h: M a N, g: N a P y f: P a Q, entonces

::

: como antes. En resumen la composición de mapas siempre es asociativa.

  • Considere un juego con tres elementos, A, B, y C. La operación siguiente:
es

asociativo. Así, por ejemplo, (A.C.) = (AB) C. Esta correlación no es conmutativa.

  • Como matrices representan funciones de transformación lineales, con la multiplicación de la matriz que representa la composición funcional, uno puede concluir inmediatamente que la multiplicación de la matriz es asociativa.

Lógica de proposiciones

Regla de reemplazo

En la lógica de proposiciones funcional por la verdad estándar, la asociación o associativity es dos reglas válidas del reemplazo. Las reglas permiten que mueva paréntesis a expresiones lógicas en pruebas lógicas. Las reglas son:

:

y

:

Donde "" es una representación del símbolo metalogical "se puede sustituir en una prueba con."

Verdad conectores funcionales

Associativity es una propiedad de algunos conectores lógicos de la lógica de proposiciones funcional por la verdad. Las equivalencias lógicas siguientes demuestran que associativity es una propiedad de conectores particulares. Lo siguiente es tautologías funcionales por la verdad.

Associativity de separación:

:

:

Associativity de conjunción:

:

:

Associativity de equivalencia:

:

:

Non-associativity

Se llama una operación binaria en un juego S que no satisface la ley asociativa no asociativa. Simbólicamente,

:

Para tal operación el pedido de evaluación realmente importa. Por ejemplo:

:

(5-3)-2 \, \ne \, 5-(3-2)

</matemáticas>

  • División

:

(4/2)/2 \, \ne \, 4 / (2/2)

</matemáticas>

:

2^ {(1^2)} \, \ne \, (2^1) ^2

</matemáticas>

También note que las sumas infinitas no son generalmente asociativas, por ejemplo:

:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + \dots \, = \, 0

</matemáticas>

mientras que

:

1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1 +\dots \, = \, 1

</matemáticas>

El estudio de estructuras no asociativas proviene de motivos algo diferentes de la corriente principal del álgebra clásica. Un área dentro del álgebra no asociativa que se ha puesto muy grande es la de álgebras de la Mentira. Allí la ley asociativa es sustituida por la identidad de Jacobi. Mienta las álgebras abstraen la naturaleza esencial de transformaciones infinitésimas y se han hecho ubicuas en matemáticas. Son un ejemplo de álgebras no asociativas.

Hay otros tipos concretos de estructuras no asociativas que se han estudiado en profundidad. Tienden a venir de algunas aplicaciones específicas. Algunos de éstos se levantan en matemáticas combinatorias. Otros ejemplos: cuasigrupo, Cuasicampo, anillo No asociativo.

Nota para operaciones no asociativas

En general, los paréntesis deben ser usados para indicar el pedido de evaluación si una operación no asociativa aparece más que una vez en una expresión. Sin embargo, los matemáticos convienen en un pedido particular de la evaluación para varias operaciones no asociativas comunes. Esto es simplemente una convención notational de evitar paréntesis.

Una operación izquierda y asociativa es una operación no asociativa que convencionalmente se evalúa de la izquierda a la derecha, es decir,

:

\left.

\begin {}de la matriz \

x*y*z = (x*y) *z\qquad\qquad\quad \,

\\

w*x*y*z = (w*x) *y) *z\quad

\\

\mbox {etc. }\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\,

\end {}de la matriz \

\right\}\

\mbox {para todos} w, x, y, z\in S

</matemáticas>

mientras una operación correcta y asociativa convencionalmente se evalúa del derecho al izquierdo:

:

\left.

\begin {}de la matriz \

x*y*z=x * (y*z) \qquad\qquad\quad \,

\\

w*x*y*z=w * (x * (y*z)) \quad

\\

\mbox {etc. }\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\,

\end {}de la matriz \

\right\}\

\mbox {para todos} w, x, y, z\in S

</matemáticas>

Ocurren tanto las operaciones izquierdas y asociativas como correctas y asociativas. Las operaciones izquierdas y asociativas incluyen lo siguiente:

  • Substracción y división de números reales:

::

::

  • Aplicación de función:

::

La nota de:This puede ser motivada por el isomorfismo que prepara con curry.

Las operaciones correctas y asociativas incluyen lo siguiente:

::

La razón de:The exponentiation es correcta y asociativa es que una operación exponentiation izquierda y asociativa repetida sería menos útil. Apariciones múltiples podrían (e iba) volverse a escribir con la multiplicación:

::

::

::

El:Using nota correcta y asociativa para estas operaciones puede ser motivado por la correspondencia del Curry-Howard y por el isomorfismo que prepara con curry.

Las operaciones no asociativas para las cuales ningún pedido de evaluación convencional se define incluyen el siguiente.

::

  • La toma del promedio par de números reales:

::

  • La toma del complemento relativo de juegos no es lo mismo como. (Compare la no implicación material en la lógica.)

Véase también


El 16 de abril / Fundación del software apache
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